什么像什么还什么作用？
这个题有点模糊，我理解为两个问题吧！ 一个是，什么样的数学问题能够像物理问题一样得到直观的解释和形象的演示？ 另一个是，代数、拓扑、复变函数等这些分支到底有什么用？能不能举一些具体的例子呢？
对于第一个问题啊，其实只要不是太复杂的数学问题，都是有模型的。比如这个和差化积的展开怎么得到的，我们肯定不可能用几何方法去算出答案来呀，但我们可以构造一个模型，假设两个函数的和与差的n次方根存在，且满足某些性质，那么利用模型就可以一步一步求解出来了。当然，这个模型本身是需要证明的，需要证明它是正确的，但这已经够了，不需要再考虑它的计算复杂性了（虽然它可能是难以计算的）。又比如说，求解一个微分方程，我们能直接解出来是最好的，但如果这个方程比较复杂，我们就不可能去直接解出来了，这时候我们就可以找一个近似解的方法，如插值拟合、数值分析里的各种方法，反正最后总归能求出一个解出来就行了。至于这解是不是原始问题的真解，是否具有误差范围等情况都不在考虑范围之内了。因为我们的目的本来就不是要算出一个绝对准确解嘛！而是通过一定的方法和思路，能得到一个近似解就可以了。
对于第二个问题，我觉得可以用一句话来回答：所有学数学的目的最终都是为了解决真实世界的问题。但这个“解决问题”可以是各种各样的问题，不一定是物理的问题！现在数学的很多分支都已经分化成各个专门领域了，每个领域都有自己的问题研究和目标。所以你说“还有什么具体例子吗？”就真的不太好回答了。因为不知道你指的是哪个方向的具体例子呀！数论里研究奇偶性这个问题有各种各样的应用，最著名的当然是模形式；拓扑学的例子就更多了，你想了解什么？